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1 Relation And Function Class 12 Important Questions || सम्बन्ध एवं फलन कक्षा 12 महत्त्वपूर्ण प्रश्न  Class 12

फलन एवं सम्बंध | अध्याय 1 पर विविध प्रश्नावली | NCERT Math Class 12th Chapter 1 Relation and Function Miscellaneous Exercise Hello 

फलन एवं सम्बंध | प्रश्नावली 1.4 | NCERT समाधान Class Math 12th Chapter 1 Exercise 1.4 UP Board Hindi Medium 1. मान लीजिए कि $f:${$1,3,4$}→{$1,2,5$} तथा $g:${$1,2,5$}→{$1,3$}, $f=$ {$(1,2),(3,5),(4,1)$} तथा $g=${$(1,3),(2,3),(5,1)$} द्वारा प्रदत्त हैं। $gof$ ज्ञात कीजिए। हल :– $f:${$1,3,4$}→{$1,2,5$} $g:${$1,2,5$}→{$1,3$} $f=${$(1,2),(3,5),(4,1)$} $g=${$(1,3),(2,3),(5,1)$} $gof=?$ $f(1)=2,f(3)=5,f(4)=1$ $g(1)=3,g(2)=5,g(5)=1$ $gof(1)=g[f(1)]=g(2)=3$ $gof(3)=g[f(3)]=g(5)=1$ $gof(4)=g[f(4)]=g(1)=3$ अतः $gof=${$(1,3),(3,1),(4,3)$}

Formula | Concept | Examples | Class 12 Maths Chapter 1 Exercise 1.4 (फलन एवं सम्बंध) द्विआधारी संक्रियाएं (Binary Operations) (1) क्रम विनिमय (cumulative) (2) साहचर्य (assosiative) (3) तत्समक (Identity) (4) प्रतिलोम (Inverse) द्विआधारी संक्रियाएं (Binary Operations) किसी समुच्चय A में एक द्विआधारी संक्रिया एक फलन :A×A→A है। हम (a,b) को ab द्वारा निरूपित करते हैं। A समुच्चय *→ द्विआधारी संक्रिया एक फलन *:A×A→A *:A×A→A (a,b)∈A×A :(a,b)→ab Example 1 —  N={1,2,3,4,5,…} 2,3∈N 2+3=5∈N +, N में द्विआधारी संक्रिया है। N={1,2,3,4,5,…} 2,3∈N 2-3=-1∉N -, N में द्विआधारी संक्रिया नहीं है। Example 2 —   A={1,2,3}  A×A={1,2,3}  ×{1,2,3}  =(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),  (2,3),(3,1),(3,2),(3,3) संकेतन —  +:(a,b)→a+b, ×:(a,b)→a×b, ×:A×A→A Example 3 —  माना R = वास्तविक संख्याएं, संक्रिया + +:→a+b, (a,b)∈R×R,न कि (a,b)∈R +:(a,b)→a+b, +:R×R→R,  यहां R×R प्रान्त (domain)  तथा→R सहप्रान्त (codomain) (1) क्रम विनिमय (cumulative) :— समुच्चय X में एक द्विआधारी सं...

फलन एवं सम्बंध | प्रश्नावली 1.3 | NCERT समाधान Class Math 12th Chapter 1 Exercise 1.3 UP Board Hindi Medium 1. मान लीजिए कि $f:${$1,3,4$}→{$1,2,5$} तथा $g:${$1,2,5$}→{$1,3$}, $f=$ {$(1,2),(3,5),(4,1)$} तथा $g=${$(1,3),(2,3),(5,1)$} द्वारा प्रदत्त हैं। $gof$ ज्ञात कीजिए। हल :– $f:${$1,3,4$}→{$1,2,5$} $g:${$1,2,5$}→{$1,3$} $f=${$(1,2),(3,5),(4,1)$} $g=${$(1,3),(2,3),(5,1)$} $gof=?$ $f(1)=2,f(3)=5,f(4)=1$ $g(1)=3,g(2)=5,g(5)=1$ $gof(1)=g[f(1)]=g(2)=3$ $gof(3)=g[f(3)]=g(5)=1$ $gof(4)=g[f(4)]=g(1)=3$ अतः $gof=${$(1,3),(3,1),(4,3)$}   2. मान लीजिए कि $f, g$ तथा $h, R$ से $R$ तक दिए फलन हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) $(f+g)oh= foh+ goh$ (ii) $(f.g)oh=(foh).(goh)$ हल :– (i) $(f+g)oh= foh+ goh$ दिया है:  $f, g, h∶ R→R$ सिद्ध करना है: $(f+g)oh= foh+ goh$ बायां पक्ष लेने पर – $LHS= (f+g)oh$ $={(f+g)oh}(x)$ $={foh+goh}(x)$ $=foh(x)+goh(x)$ $=goh+goh$ $= RHS$ अतः $(f+g)oh= foh+ goh, Proved.$ (ii) $(f.g)oh=(foh).(goh)$ दिया है:  $f, g, h ∶ R→R$ सिद्ध करना है: $(f.g)oh=(foh).(goh)$ बायां पक्ष ...

Basics | Concepts | Examples | Class 12 Maths Chapter 1 Exercise 1. (फलन एवं सम्बंध) फलनों का संयोजन :– माना $f(x)=2x+1, f:R→R$ $g(x)=x^2+2x, f:R→R$ (1) $fog=f[g(x)]$ $=f(x^2+2x)$ $=2(x^2+2x)+1$ $=2x^2+4x+1$ (2) $gof=g[f(x)]$ $=g(2x+1)$ $=(2x+1)^2+2(2x+1)$ $=4x^2+1+4x+4x+2$ $=4x^2+8x+3$ (3) $fof=f[f(x)]$ $=f(2x+1)$ $=2(2x+1)+1$ $=4x+2+1$ $=4x+3$ (4) $gog=g[g(x)]$ $=g(x^2+2x)$ $=(x^2+2x)^2+2(x^2+2x)$ $=x^4+4x^2+8x^3+2x^2+4x$ $=x^4+8x^3+6x^2+4x$ Note:– यदि $f:A→B$ $g:B→C$ then, $gof:A→C$ व्युत्क्रमणीय फलन:– यदि एकैकी व आच्छादक फलन हो तो व्युत्क्रमणीय फलन $f^(-1)=B→A$

फलन एवं सम्बंध | प्रश्नावली 1.2 | NCERT समाधान Class Math 12th Chapter 1 Exercise 1.2 UP Board Hindi Medium अध्याय 1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे? 1. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=1/2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_*→R$ एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $R_*$ सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_*$ को $N$ से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $R_*$ ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा? 2. निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए: (i) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है। (ii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$  फलन है। (iii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: R→R$  फलन है। (iv) $f(x)=x^3$   द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है। (v) $f(x)=x^3$  द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है। 3. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन $f: R→R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x],x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। 4. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|x...

Basics | Concepts | Examples | Class 12 Maths Chapter 1 Exercise 1.2 (फलन एवं सम्बंध) फलन :– जब किसी एक अरिक्त समुच्चय के सभी अवयवों का प्रतिचित्रण (pre- image) किसी दूसरे समुच्चय में उपस्थित हो तब इन्हें फलन कहा जाता है। अर्थात — Example 1:- 1→2 2→4 3→6 4→8 5→10 f:A→B,A→B यह एक फलन है। Example 2:- 1⁄2→1 3→1 (┤)→2 4→3 f:A→B, A→B यह एक फलन है। Example 3:- 1→a 1→b 2→(┤) 3→c f:A→B,A→B यह एक फलन नहीं है।   किसी फलन के प्रान्त, सहप्रान्त तथा परिसर — यदि R⊆ A×B R={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)} प्रान्त (Domain)={1,2,3,4} परिसर (Range)= {a,b,c,d} सहप्रान्त (Co-domain)= {a,b,c,d,e} फलन के प्रकार — मुख्यतया फलन निम्नलिखित प्रकार के होते हैं। (1) एकैकी फलन (One - One Function) :– माना f(x)=2x+1 x→y f:R→R R→R 1→2 2→4 3→6 x→y x_1→f(x_1) x_2→f(x_2) यदि f(x_1)=f(x_2) x_1=x_2 तब फलन एकैकी होगा। Example 1:–  f(x)=2x+1  f(x_1 )=2x_1+1 f(x_2 )=2x_2+1 यदि f(x_1 )=f(x_2) 2x_1+1= 2x_2+1 2x_1= 2x_2 x_1= x_2 अतः दिया गया फलन f(x)=2x+1 एकैकी है।...

1 फलन एवं सम्बंध | प्रश्नावली 1.1 | एनसीईआरटी समाधान Class 12th Math Chapter 1 Exercise 1.1 UP Board Hindi Medium अध्याय 1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.1 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे? 1:— निर्धारित कीजिए कि क्या निम्न लिखित सम्बंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है: (i) समुच्चय में $A=$ {$1,2,3,…,13,14$} सम्बंध $R$ इस प्रकार परिभाषित है कि $R=${$;(x,y) ∶3x-y=0$} 1(ii) :— प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ में $R=$ {$(x,y) ∶ y=x+5 $तथा $x<4$} द्वारा परिभाषित सम्बंध $R$. 1(iii) :— समुच्चय $A=$ {$1,2,3,4,5,6$} में $R=$ {$(x, y):$ भाज्य है $x$ से} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$ है। 1(iv) :— समस्त पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ में $R=$ {$(x,y): x-y$ एक पूर्णांक है।} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$. 1(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R$ (a) $R=${$(x,y): x$ तथा एक ही स्थान पर कार्य करते हैं} (b) $R=$ {$(x,y): x$ तथा एक ही मोहल्ले में रहते हैं} (c) $R=$ {$(x,y): x,y$ से ठीक-ठीक $7$ सेमी लंबा है} (d) $R=$ {$(x,y): x,y$ की पत्नी है} (e) $...

Basics | Concepts | Examples | Class 12 Maths Chapter 1 Exercise 1.1 (फलन एवं सम्बंध)  समुच्चय (Set) — वस्तुओं के सुपरिभाषित समूह या संग्रह (collection) को समुच्चय कहते हैं। अथवा वस्तुओं का वह समूह जिसमें मौजूद हर वस्तु किसी खास/विशेष गुण को पूरा करती हो, उसे समुच्चय कहते हैं। समुच्चय को अंग्रेज़ी में ‘सेट’ (Set) कहते हैं। समुच्चय में मौजूद सभी वस्तुओं को अवयव (element) कहते हैं। समुच्चय में मौजूद अवयव अलग-अलग होने चाहिए। जैसे — $ A = ${$1, 2, 3$} Note:- (1) कोई वस्तु या पद तभी और केवल तभी उस समुच्चय का सदस्य कहलाता है, जब इसमें उस वस्तु का गुण हो। (2) किसी समुच्चय में दो अथवा दो से अधिक अवयव एकसमान नहीं होने चाहिए। अर्थात समुच्चय में अवयवों की पुनरावृत्ति नहीं होती है। क्रमित युग्म (Ordered Pair) — दो अवयवों के ऐसे जोड़े को जिनका क्रम निश्चित हो, क्रमित युग्म (ordered pair) कहते हैं। अर्थात यदि इस युग्म में क्रम का भी महत्व हो। यदि किसी क्रमित युग्म का पहला अवयव $a$ तथा दूसरा अवयव $b$ हो तो इस क्रमित युग्म को $(a, b)$ के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। यदि $A=${$a,……$} ...

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